1.6.2 Обработка результатов наблюдений и оценивание погрешностей измерений

Оценку погрешности результата измерения выполняют при разработке МВИ. Источниками погрешностей являются модель ОИ, метод измерения, СИ, оператор, влияющие факторы условий измерений, алгоритм обработки результатов наблюдений. Как правило, погрешность результата измерения оценивается при доверительной вероятности Р = 0,95.

При выборе значения Р необходимо учитывать степень важности (ответственности) результата измерений. Например, если ошибка в измерении может привести к гибели людей или к тяжелым экологическим последствиям, значение Р должно быть увеличено.

1. Измерения с однократными наблюдениями. За результат измерения в этом случае принимают результат однократного наблюдения х (с введением поправки, если она имеется), используя предварительно полученные (например, при разработке МВИ) данные об источниках, составляющих погрешность.

Доверительные границы НСП результата измерения Θ(Р) вычисляют по формуле

где k(P) — коэффициент, определяемый принятой Р и числом m₁ составляющих НСП: Θ(Р) — найденные нестатистическими методами границы j-й составляющей НСП (границы интервала, внутри которого находится эта составляющая, определяемые при отсутствии сведений о вероятности ее нахождения в этом интервале). При Р — 0,90 и Р = 0,95 k(P) равен 0,95 и 1,1 соответственно при любом числе слагаемых m₁ . При Р=0,99 значения k(P) следующие (табл. 3.3): Таблица 3.3

m1	k(P)	m1	k(P)
5 и более	1,45	3	1,30
4	1,40	2	1,20

Метрологическая служба компании СОНЭЛ МС располагает эталонной базой, подготовленными и аттестованными поверителями, нормативными документами и помещениями, необходимыми для осуществления поверки СИ в соответствии со своей областью аккредитации. Заказ поверки онлайн

Если составляющие НСП распределены равномерно и заданы доверительными границами 0(Р), то доверительную границу НСП результата измерения вычисляют по формуле

Среднее квадратическое отклонение (СКО) результата измерения с однократным наблюдением вычисляют одним из следующих способов:

• Если в технической документации на СИ или в МВИ указаны нормально распределенные составляющие случайной погрешности результата наблюдения (инструментальная, методическая, из-за влияющих факторов, оператора и т. д.), то СКО вычисляют по формуле
  
  
  
  
  
  

  где	m2 — число составляющих случайной погрешности; Si — значения СКО зтих составляющих.

  
  Доверительную границу случайной погрешности результата измерения е (Р) в этом случае вычисляют по формуле
  
  
  
  
  
  где Ζ_P/2 — значение нормированной функции Лапласа в точке Р/2 при доверительной вероятности Р (табл. 3.4):

• Если в тех же документах случайные составляющие погрешности результата наблюдения представлены доверительными границами ∈_i, (Р)при одной и той же доверительной вероятности Р, то доверительную границу случайной погрешности результата измерения с однократным наблюдением при доверительной вероятности вычисляют по формуле
  
  
  
• Если случайные составляющие погрешности результата наблюдения определяют предварительно в реальных рабочих условиях экспериментальными методами при числе наблюденийn_i < 30, то:
  
  
  

  где	t — коэффициент Стьюдента, соответствующий наименьшему числу наблюдений nm из всех ni можно найти в [4] или в любом справочнике по теории вероятностей; S(x) — оценки СКО случайных составляющих погрешности результата наблюдения, определяемых но формуле (3.10).

  
  
  Если в эксперименте невозможно или нецелесообразно определить СКО составляющих случайной погрешности и определено сразу суммарное СКО, то в формуле (3.5) m₂ = 1.
• Если случайные составляющие погрешности результата наблюдений представлены доверительными границами ∈(P_i), соответствующими разным вероятностям (P_i), то сначала определяют СКО результата измерения с однократным наблюдением по формуле
  
  
  
  
  
  где Z_P1/P2 — значения функции Лапласа.
  Затем вычисляют ∈ (Р) по формуле (3.4).
  Для суммирования систематической и случайной составляющих погрешностей рекомендуется следующий способ:
  Если
  
  
  
  то НСП Θ(Р) пренебрегают и окончательно принимают ∈(Р) за погрешность результата измерения Δ(Р) при доверительной вероятности Р.
  Если
  
  
  
  то пренебрегают случайной погрешностью и принимают Δ(Р) = Θ(Р).
  Если 0,8 ≤ Θ(P)/S(x)≤8, то доверительную границу погрешности результата измерений вычисляют по формуле
  
  
  

2. Измерения с многократными наблюдениями. Обработку результатов в этом случае рекомендуется начать с проверки на отсутствие промахов (грубых погрешностей). Промах — это результат хn отдельного наблюдения, входящего в ряд из п наблюдений, который для данных условий измерений резко отличается от остальных результатов этого ряда. Если оператор в ходе измерения обнаруживает такой результат и достоверно находит его причину, он вправе его отбросить и провести (при необходимости) дополнительное наблюдение взамен отброшенного.

При обработке уже имеющихся результатов наблюдений произвольно отбрасывать отдельные результаты нельзя, так как это может привести к фиктивному повышению точности результата измерения. Поэтому применяют следующую процедуру. Вычисляют среднее арифметическое х результатов наблюдений х_i, по формуле

Затем вычисляют оценку СКО результата наблюдения как

предполагаемого промаха х_n от х:

По числу всех наблюдений n (включая х_n) и принятому для измерения значению Р (обычно 0,95) по [4] или любому справочнику но теории вероятностей находят z(Р, n)  — нормированное выборочное отклонение нормального распределения. Если V_n < zS(x), то наблюдение х_n не является промахом; если V_n > zS(x), то х_n промах, подлежащий исключению. После исключения х_n повторяют процедуру определения х и S(x) для оставшегося ряда результатов наблюдений и проверки на промах наибольшего из оставшегося ряда отклонений от нового значениям (вычисленного исходя из n — 1).

За результат измерения принимают среднее арифметическое х [см. формулу (3.9)] результатов наблюдений xh Погрешность х содержит случайную и систематическую составляющие. Случайную составляющую, характеризуемую СКО результата измерения, оценивают по формуле

Принадлежность результатов наблюдений x_i к нормальному распределению при n ≥ 20 легко проверить, применив правило Зσ: если отклонение от х не превышает Зσ, то случайная величина распределена нормально. Доверительные границы случайной погрешности результата измерения при доверительной вероятности Р находят по формуле

Доверительные границы Θ(Р) НСП результата измерения с многократными на-блюдениями определяют точно так же, как и при измерении с однократным на-блюдением — по формулам (3.3) или (3.4).

Суммирование систематической и случайной составляющих погрешности результата измерения при вычислении Δ(Р) рекомендуется осуществлять с использованием критериев и формул (3.6-3.8), в которых при этом S(x) заменяется на S(Х) = S(X)/√n;

3. Косвенные измерения. Значение измеряемой величины А находят по результатам измерений аргументов alf ait ат, связанных с искомой величиной уравнением

Вид функции ƒ определяется при установлении модели ОИ.

Косвенное измерение при линейной зависимости. Искомая величина А связана с т измеряемыми аргументами уравнением

Предполагается, что корреляция между погрешностями измерений a_i отсутствует. Результат измерения А вычисляют по формуле

где а_i — результат измерения а_i с введенными поправками. Оценку СКО результата измерения S(A) вычисляют но формуле

где S(a_i) - оценка СКО результата измерений a_i.

Доверительные границы ∈(Р) случайной погрешности А при нормальном распределении погрешностей a_i

где t(P, n_эф) — коэффициент Стьюдента, соответствующий доверительной вероятности Р (обычно 0,95, в исключительных случаях 0,99) и эффективному числу наблюдений n_эф вычисляемому по формуле

где n_i -число наблюдений при измерении a_i.

Доверительные границы Θ(Р) НСП результата такого измерения, сумму Θ(Р) и ∈(Р) для получения окончательного значения Δ(Р) рекомендуется вычислять с использованием критериев и формул (3.3), (3.4), (3.6) — (3.8), в которых m_i,Θ_i, и S(x) заменяются соответственно на m, b_i Θ_i, и s(A)
Косвенные измерения при нелинейной зависимости. При некоррелированных погрешностях измерений a_i используется метод линеаризации путем разложения функции ƒ{a₁,…,a_m ) в ряд Тейлора, то есть

где Δa_i = a_i — a — отклонение отдельного результата наблюдения a_i от a_i ; R - остаточный член.

Метод линеаризации допустим, если приращение функции ƒ можно заменить ее полным дифференциалом. Остаточным членом пренебрегают, если

где S(a) — оценка СКО случайных погрешностей результата измерения a_i. При этом отклонения Δa_i( должны быть взяты из возможных значений погрешностей и такими, чтобы они максимизировали R.
Результат измерения A вычисляют по формуле Â = ƒ(â …â_m).

Оценку СКО случайной составляющей погрешности результата такого косвенного измерения s(Â) вычисляют по формуле

a ∈(P) — по формуле (3.13). Значение n_эф граница НСП Θ(P) и погрешность Δ(P) результата косвенного измерения при линейной зависимости вычисляют так же, как и при линейной зависимости, но с заменой коэффициентов b_i на δƒ/δa_i

Метод приведения (для косвенных измерений с нелинейной зависимостью) применяется при неизвестных распределениях погрешностей измерений а_i и при корреляции между погрешностями а_i для получения результата косвенного измерения и определения его погрешности. При этом предполагается наличие ряда n результатов наблюдений а_ij. измеряемых аргументов a_i. Сочетания а_ij полученных в j эксперименте, подставляют в формулу (3.12) и вычисляют ряд значений A_j измеряемой величины A. Результат измерения Â вычисляют по формуле

Оценку СКО s( Â) — случайной составляющей погнешности Â — вычисляют по формуле

а ∈ (Р) -по формуле (3.11). Границы НСП Θ(Р) и погрешность Δ(Р) результата измерения Â определяют описанными выше способами для нелинейной зависимости.